Was ist ein Fraktal?

2 neue Fraktal-Serien (2007 - 2008),
mit der Spirale als zentralem Thema:

Fraktale als Kunst 6
Fraktale als Kunst 7
Fraktale als Kunst 8
Fraktale als Kunst 9

Was ist ueberhaupt ein Fraktal?
Text: Gabi Mueller und Karin Kuhlmann, Bilder: Karin Kuhlmann

Unsere ganze Natur ist fraktal aufgebaut. Ueberall findet man Wiederholungen einer bestimmten Struktur in sich selbst (Selbstaehnlichkeit), wie ein Zweig am Ast eines Baumes, den Verzweigungen unseres Blutkreislaufes, den Huegeln eines Berges oder der Form einer Kuestenlinie.

Seit etwa 30 Jahren haben Mathematiker die Computer-Fraktale entdeckt, indem sie eine Kette von Zahlen und mathematischen Operationen immer wieder mit sich selbst rueckkoppeln: Das Ergebnis wird als neuer Anfangswert aufgefasst und wieder in die Schleife eingegeben. Die wechselnde Groesse dieses »immer wieder Anfangswertes« wird beobachtet und in grafischer Form ausgewertet.

Julia-Fraktal Bei den Fraktalen nach MANDELBROT
und JULIA werden zweidimensionale Anfangswerte benutzt.
Man kann damit eine Ebene aufspannen,
in der dann jeder Punkt einer anderen zweidimensionalen Zahl entspricht.

Für diesen Punkt als Anfangswert (JULIA) oder als Parameter-Anfangswert (MANDELBROT) rechnet man jetzt die Gleichung rueckgekoppelt immer wieder von vorn. Wenn die »Zwischenergebnisse« ein eindeutiges Verhalten erkennen lassen, zum Beispiel staendig immer groesser werden (das nennt man Divergenz) oder sich immer genauer einem bestimmten Mandelbrot-Fraktal, Apfelmännchen Zahlenwert annaehern (Konvergenz) oder einen wiederkehrenden Zyklus erreichen (Grenzwertzyklus) oder einfach einen gewissen Zahlenbereich in gewissen Grenzen nicht verlassen (Chaos), dann kann man das Rechnen für diesen Punkt (rechnen in einer Rueckkoppelschleife nennt man iterieren) abbrechen.

Kodiert man das Verhalten als Farbe, zum Beispiel Divergenz Weiss und alles andere Schwarz, ergibt sich für die Mandelbrotmenge am Ende, wenn man das fuer alle Punkte einzeln gemacht hat, das beruehmte schwarze Apfelmaennchen auf weissem Hintergrund.

Foto-Collage, bearbeitet mit Fraktalen Wenn Sie genauer hinschauen, werden Sie in vielen meiner Bilder Fraktale entdecken.
So habe ich z.B. bei vielen meiner Photopaintings- und Blumenbilder Fraktale als Gestaltungselemente verwendet, denn sie sind wunderbar geeignet Bildelemente aufzunehmen, zu verstaerken oder auch zu verfremden. In den meisten Faellen sind es sogar mehrere Fraktale bzw. Mehrfachanwendungen von Fraktalen, bei denen lediglich die Farb- und Anpassungsmodi geaendert wurden.

Mathematische Kunst auf der Basis mehrerer Fraktale (Flames) Auch viele meiner abstrakten Arbeiten
bestehen aus Fraktalen.
Dabei gehe ich so vor, dass ich zunaechst eine ganze Serie von inspirierenden Fraktalformen generiere (»Fundstücke«), die ich dann, aehnlich wie bei einer Collage, miteinander kombiniere und digital nachbearbeite.

Fraktale (k)eine Kunst?
Die Frage, ob ein computergeneriertes Fraktal Kunst ist, wird nicht nur im Internet
sehr kontrovers diskutiert. Dabei sollte man generell unterscheiden zwischen den tatsaechlich computergenerierten Fraktalen, die ausschliesslich dazu bestimmt sind,
die Loesungsmenge eines konkreten mathematischen Problems grafisch darzustellen und jenen Fraktalen, deren Gestaltung individuell bestimmt wird und deren Ergebnisse isoliert von mathematischen Fragestellungen zu betrachten sind.

Fraktalbild Oktopus Meine Vorgehensweise bei der Entstehung eines Fraktalbildes laesst sich in etwa so beschreiben:
Stellen Sie sich vor, Sie machen einen Spaziergang durch eine fuer Sie bis dahin voellig unbekannte Landschaft und Sie haben Ihre Kamera dabei. An mindestens einem Punkt Ihres Spazierganges wird eine besonders schoene Aussicht oder ein Landschaftsdetail Sie derart beeindrucken, dass Sie Ihre Kamera zuecken, um diesen Eindruck fuer immer festzuhalten.

Als unerfahrene(r) Fotograf(in) werden Sie vielleicht einen netten Schnappschuss machen, der fuer Sie eine persoenliche Erinnerung an diesen Spaziergang darstellt.
Als erfahrene(r) Fotograf(in) werden Sie jedoch nichts dem Zufall ueberlassen - abgesehen von dem Zufall, der Sie an diesen Punkt gefuehrt hat.

Sie gestalten jedes Detail Ihrer Aufnahme und nutzen alle Moeglichkeiten, die Ihre Kamera Ausruestung bietet, z.B. Verwendung bewusster Unschaerfen, durch Wahl der Blende und Belichtungszeit, verstaerken der Farbe des Himmels durch Einsatz eines entsprechenden Filters, festlegen des Ausschnitts durch die Wahl des Objektives, etc...

Eine Fraktal Landschaft zu erforschen, ist im Grunde nichts anderes: Ich wandere an den »Kuesten« z.B. eines Julia- oder Mandelbrot Fraktals entlang und beginne mich an einem Punkt, der mir gefaellt, einzuzoomen. Da jedes Fraktal mindestens 3-dimensional ist, gibt es ueber die verschiedenen Parameter unendlich viele Gestaltungsmoeglichkeiten, begonnen bei der Auswahl der abzubildenden Punkte ueber die Gestaltung der inneren und aeusseren Ummantelung eines Fraktals,
bis hin zur detaillierten Feinabstimmung und Wiederholungsfrequenz der Farben.

Wenn alle Komponenten subjektiv stimmen, wird das Ergebnis in ein 2-dimensionales Bild umgerechnet. Diesen Prozess bezeichnet man als rendern.

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Für den ersten Teil des Textes habe ich eine kleine Anleihe bei der
Diplom Physikerin Gabi Mueller gemacht.
Texte und Bilder duerfen nur mit ausdruecklicher Genehmigung der Autoren
verwendet werden.

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